On smooth atlases over triangle meshes

Le mesh triangolari rappresentano le superfici come oggetti lineari a tratti, nei quali la geometria e i dati associati sono memorizzati sugli elementi discreti della mesh, mentre i valori all’interno dei triangoli sono comunemente ricavati mediante interpolazione. Un’alternativa recente consiste nel costruire un atlante regolare combinando carte polinomiali associate ai vertici in una parametrizzazione globalmente C^k. L’atlante considerato in questa tesi è adattato alla mesh utilizzando esclusivamente informazioni di ordine zero — le posizioni dei vertici — senza imporre vincoli sulle normali o sulla curvatura. La tesi indaga se la fedeltà posizionale garantisca anche l’accuratezza di una quantità differenziale del secondo ordine: la curvatura gaussiana. La questione viene studiata sperimentalmente su un toro di rivoluzione, la cui curvatura è nota analiticamente. La superficie è tassellata in quattro modi — regolare, anisotropo, irregolare e irregolare anisotropo — a tre diverse risoluzioni. Sei stimatori sono confrontati con il riferimento analitico: il classico difetto angolare, una ricostruzione oracle adattata alla superficie analitica e quattro ricostruzioni variazionali dell’atlante. Alcune ricostruzioni dell’atlante mostrano un errore di curvatura decrescente al crescere della risoluzione per tutte le tassellazioni considerate. Sulle mesh irregolari, dove il difetto angolare non presenta un errore decrescente e può diventare meno accurato all’aumentare della risoluzione, l’atlante può risultare più accurato di circa un ordine di grandezza. Questo comportamento è coerente con il meccanismo locale alla base del risultato di convergenza di Xu per il fitting quadratico, sebbene tale teorema non si applichi direttamente alla ricostruzione variazionale globalmente accoppiata di DALa. La fedeltà posizionale, tuttavia, non implica fedeltà differenziale. I campioni interni ai triangoli mostrano un errore posizionale mediano dell’ordine di 10^{-5}, accompagnato da un errore di curvatura maggiore di circa tre ordini di grandezza, con una correlazione soltanto debole tra i due. La doppia differenziazione della ricostruzione basata su una partizione dell’unità identifica termini che accoppiano le derivate dei pesi di blending con le discrepanze tra carte adiacenti. Questi termini si annullano nei vertici e diventano attivi tra di essi, coerentemente con l’errore osservato. Esperimenti controllati confermano il ruolo del blending e del fitting numerico. La sola modifica della funzione peso altera l’errore di curvatura fino a un fattore 2.7, senza influire sulla posizione o sugli stimatori privi di blending. Una quadratura più fitta elimina un apparente limite inferiore dell’errore una volta superata una soglia di campionamento, mentre pesi più regolari richiedono più campioni per risolvere le loro regioni di transizione più strette. Un regolarizzatore che penalizza le discrepanze tra i valori e i getti del primo ordine delle carte migliora il fitting fino a un fattore dieci e ripristina un errore decrescente sotto raffinamento utilizzando un sedicesimo dei campioni di quadratura. L’aumento del grado polinomiale, invece, peggiora tutti gli stimatori variazionali, lasciando invariato o migliorando l’oracle; ciò indica che i gradi di libertà aggiuntivi non sono sufficientemente vincolati. Infine, in un esperimento sulle mappe funzionali, la valutazione dei segnali spettrali mediante l’atlante regolare riproduce l’interpolazione lineare a tratti fino alla quarta cifra decimale, con un costo computazionale maggiore di circa tre ordini di grandezza. In questi esperimenti, la regolarità risulta quindi utile soprattutto per la differenziazione: è rilevante quando la quantità considerata dipende da informazioni differenziali interne ai triangoli, ma offre vantaggi limitati quando l’interpolazione lineare è già sufficientemente accurata.

Triangle meshes represent surfaces as piecewise-linear objects, with geometry and associated data stored on discrete mesh elements and values inside triangles commonly recovered by interpolation. A recent alternative is to construct a smooth atlas by blending per-vertex polynomial charts into a globally C^k parametrisation. The atlas considered in this thesis is fitted using order-zero information alone – the vertex positions – with no constraints on normals or curvature. This thesis investigates whether positional fidelity also yields an accurate second-order differential quantity: Gaussian curvature. The question is studied experimentally on a torus of revolution with known analytic curvature. The surface is tessellated in four ways—regular, anisotropic, irregular, and irregular anisotropic—at three resolutions. Six estimators are compared against the analytic ground truth: the classical angle defect, an oracle reconstruction fitted to the analytic surface, and four variational atlas fits. Selected atlas fits exhibit decreasing curvature error under refinement across all tested tessellations. On irregular meshes, where the angle defect does not show decreasing error and may become less accurate as resolution increases, the atlas can be approximately one order of magnitude more accurate. This behaviour is consistent with the local mechanism underlying Xu’s convergence result for quadratic fitting, although that theorem does not directly apply to DALa’s globally coupled variational reconstruction. Positional fidelity, however, does not imply differential fidelity. Samples inside the triangles show a median positional error of order 10^{-5}, accompanied by a curvature error approximately three orders of magnitude larger, with only a weak correlation between the two. Differentiating the partition-of-unity reconstruction twice identifies terms coupling derivatives of the blending weights with discrepancies between adjacent charts. These terms vanish at vertices and become active between them, consistently with the observed error. Controlled experiments confirm the roles of blending and numerical fitting. Changing only the weight function alters the curvature error by up to a factor of 2.7 without affecting position or the non-blended estimators. Denser quadrature removes an apparent error floor once a sampling threshold is crossed, while smoother weights require more samples to resolve their narrower transition regions. A regulariser penalising discrepancies in chart values and first-order jets improves the fit by up to a factor of ten and restores decreasing error under refinement while using one sixteenth as many quadrature samples. Increasing the polynomial degree instead degrades every variational estimator while leaving the oracle unchanged or improved, indicating that the additional degrees of freedom are insufficiently constrained. Finally, in a functional-maps experiment, evaluating spectral signals through the smooth atlas reproduces piecewise-linear interpolation to the fourth decimal place at roughly three orders of magnitude greater computational cost. In these experiments, smoothness is therefore valuable primarily for differentiation: it matters when the target quantity depends on off-vertex differential information, but offers little advantage when linear interpolation is already sufficiently accurate.