Studio della cooperazione in popolazioni strutturate mediante teoria dei giochi evolutiva

The persistence of cooperation in structured populations, within the framework of evolutionary game theory, is a widely studied topic, yet remains open in many respects. In the model presented in this paper, starting with a finite population playing a benefit-cost Prisoner's Dilemma, we introduce a compartmental structure in which individuals are distributed across the nodes of a tree graph. At each update step, a "focal" individual selects a role model within its own or adjacent compartments with a probability proportional to the payoff, then updates its strategy through imitation or mutation and relocates locally. This approach allows us to study the effect of locally constrained information and movement on the long-term evolutionary dynamics of cooperation. The model is first compared with the unstructured case, in which cooperation is expected to disappear. We then analyze how the compartmental organization modifies this outcome as the benefit-cost ratio and the probability of migration vary. The stochastic dynamics is interpreted as a finite Markov chain, which justifies the use of long-run Monte Carlo simulations to approximate the steady-state regime. The results show that a local compartmental structure can substantially alter the evolutionary fate of cooperation. While cooperation disappears in the unstructured population, increasing the number of compartments can allow cooperators to persist at high average levels over the long term, for appropriate parameter values. These results suggest that population structure, local imitation, and constrained mobility are sufficient to sustain cooperation even in contexts where the basic game clearly favors defection.

La persistenza della cooperazione in popolazioni strutturate, nel quadro della teoria dei giochi evolutiva, costituisce un tema ampiamente studiato ma ancora aperto sotto molti aspetti. Nel modello presentato nell'elaborato, a partire da una popolazione finita che gioca un Prisoner’s Dilemma in forma benefit-cost, si introduce una struttura compartimentale nella quale gli individui sono distribuiti sui nodi di un grafo ad albero. Ad ogni update step, un individuo "focale" seleziona un role model all’interno del proprio compartimento o di quelli adiacenti con probabilità proporzionale al payoff, quindi aggiorna la propria strategia tramite imitazione o mutazione e si ricolloca localmente. Questa impostazione consente di studiare l’effetto di informazione e movimento localmente vincolati sulla dinamica evolutiva di lungo periodo della cooperazione. Il modello viene innanzitutto confrontato con il caso non strutturato, nel quale la cooperazione è attesa scomparire. Successivamente si analizza come l’organizzazione compartimentale modifichi tale esito al variare del rapporto beneficio-costo e della probabilità di migrazione. La dinamica stocastica è interpretata come una catena di Markov finita, il che giustifica l’uso di simulazioni Monte Carlo di lunga durata per approssimare il regime stazionario. I risultati mostrano che una struttura compartimentale locale può alterare in modo sostanziale il destino evolutivo della cooperazione. Mentre nella popolazione non strutturata la cooperazione scompare, l’aumento del numero di compartimenti può consentire ai cooperatori di persistere a livelli medi elevati nel lungo periodo, per opportuni valori dei parametri. Questi risultati suggeriscono che struttura della popolazione, imitazione locale e mobilità vincolata sono elementi sufficienti a sostenere la cooperazione anche in contesti nei quali il gioco di base favorisce nettamente la defezione.